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Simplexe 1.2:

Cette pile HyperCard utilise l'algorithme dit du "simplexe". Elle permet de résoudre un système d'inéquations en cherchant à maximiser ou à minimiser une équation économique.
Cette méthode s'applique seulement si tout est linéaire.

Exemple 1:
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Déterminer un plan de production optimal quand les différents articles à fabriquer entrent en concurrence pour la consommation de ressources limitées.
Nous avons deux produits à fabriquer, A et B, qui consomment une même matière première M, à raison de 2 unités pour produire 1 unité de A, et de 4 unités pour produire 1 unité de B. La consommation totale de M ne peut dépasser 16 unités pour la période considérée. Par ailleurs, on ne peut fabriquer plus de 4 unités de A, ni plus de 3 unités de B. Enfin, les marges unitaires dégagées par les 2 produits sont respectivement de 2 et de 5.
Nous avons ainsi affaire à un système de 2 variables principales X(1) et X(2) représentant les quantités à produire de A et de B, soumises à 3 contraintes:
2 X(1) + 4 X(2) <= 16
X(1) <= 4
X(2) <= 3

Pour transformer les contraintes en égalités, nous introduisons 3 variables dites d'écart, que nous baptisons X(3), X(4), X(5).

2 X(1) + 4 X(2) + X(3) = 16
X(1) + X(4) = 4
X(2) + X(5) = 3

La fonction économique à optimiser s'écrit:
max Z = 2 X(1) + 5 X(2)

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Valeurs à écrire :

2,4 16
1,0 4
0,1 3

Coef écon. 2,5
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RÉSULTATS

X(1)= 2
X(2)= 3
X(3)= 0
X(4)= 2
X(5)= 0

Z= 19

Le plan de production optimal est donc:
2 unités de A
3 unités de B

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Exemple 2:
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Une menuiserie fournit chaque semaine à une firme de distribution des tabourets de deux types (M1, M2). Les bénéfices liés à la vente d'un lot de chaque type sont respectivement de 7 et 3 milliers de francs. La fabrication de ces tabourets nécessite l'usage de quatre outils: foreuse (F), scie (S), tour (T) et ponceuse (P). Les capacités hebdomadaires d'utilisation de chacun d'eux sont respectivement égales à 120, 150, 120 et 180 heures. Par ailleurs, chaque lot de M1 et M2 nécessite une utilisation différente des outils représentée, en heures de travail, dans le tableau suivant:
! M1 ! M2 !
=============
F ! 3 ! 2 !
S ! 6 ! 0 !
T ! 0 ! 3 !
P ! 6 ! 2 !
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Comment peut-on aider cette menuiserie à négocier les quantités vendues à la firme de distribution ?

3 M1 + 2 M2 <= 120
6 M1 + 0 M2 <= 150
0 M1 + 3 M2 <= 120
6 M1 + 2 M2 <= 180

La fonction économique à optimiser s'écrit:
max Z = 7 M1 + 3 M2

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Valeurs à écrire :

3,2 120
6,0 150
0,3 120
6,2 180

Coef écon. 7,3
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RÉSULTATS

X(1)= 19.999997
X(2)= 30.000015
X(3)= 0
X(4)= 30.00003
X(5)= 29.999985
X(6)= 0

Z= 230.000022

Le plan de production optimal est donc:
20 lots de M1
30 lots de M2
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Exemple 3:
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Un boulanger a la possibilité de faire trois types de gâteaux G1, G2, G3. Il utilise à cet effet de la farine (E1), du beurre (E2), des oeufs (E3), du sucre (E4) et de la levure (E5). Les quantités a(i,j) de l'élément E(i) intervenant dans l'élaboration du gâteau G(j) sont données dans le tableau ci-dessous. Le boulanger dispose de 20 unités de (E1), 10 de (E2), 20 de (E3), 20 de (E4) et 10 de (E5). Les bénéfices unitaires valent respectivement 2 pour G1, 5 pour G2 et 7 pour G3.

! G1 G2 G3 !
================
E1 ! 1 1 2 !
E2 ! 1 2 1 !
E3 ! 2 1 1 !
E4 ! 1 2 0 !
E5 ! 1 2 2 !
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Déterminer le nombre de gâteaux à confectionner de façon à maximiser le bénéfice total.

1 G1 + 1 G2 + 2 G3 <= 20
1 G1 + 2 G2 + 1 G3 <= 10
2 G1 + 1 G2 + 1 G3 <= 20
1 G1 + 2 G2 + 0 G3 <= 20
1 G1 + 2 G2 + 2 G3 <= 10

La fonction économique à optimiser s'écrit:
max Z = 2 G1 + 5 G2 + 7 G3

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Valeurs à écrire :

1,1,2 20
1,2,1 10
2,1,1 20
1,2,0 20
1,2,2 10

Coef écon. 2,5,7
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RÉSULTATS

X(1)= 0
X(2)= 0
X(3)= 5
X(4)= 10
X(5)= 5
X(6)= 15
X(7)= 20
X(8)= 0

Z= 35

Le nombre optimal de gâteaux est donc:
0 -> G1
0 -> G2
5 -> G3
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Exemple 4:
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Une exploitation agricole décide de consacrer au maximum 16 hectares à la culture des céréales P1, P2, P3, P4, P5. Elle doit pour cela utiliser trois types d'engrais: e1, e2, e3, qu'elle ne possède qu'en quantités limitées (8 pour e1, 4 pour e2 et 9 pour e3).
Les années précédentes ont montré que les quantités d'engrais nécessaire par hectare de culture des différentes céréales sont les suivantes:

! P1 P2 P3 P4 P5 !
========================
e1 ! 1 1 0 2 0 !
e2 ! 1 0 2 0 0 !
e3 ! 0 2 0 0 1 !
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De plus, l'agriculteur est en droit d'attendre pour l'année prochaine, au vu des récoltes précédentes et du marché actuel, un bénéfice moyen net par hectare de 3 pour P1, 4 pour P2, 1 pour P3, 7 pour P4, 2 pour P5.

1 P1 + 1 P2 + 0 P3 + 2 P4 + 0 P5 <= 8
1 P1 + 0 P2 + 2 P3 + 0 P4 + 0 P5 <= 4
0 P1 + 2 P2 + 0 P3 + 0 P4 + 1 P5 <= 9

La fonction économique à optimiser s'écrit:
max Z = 3 P1 + 4 P2 + 1 P3 + 7 P4 + 2 P5

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Valeurs à écrire :
1,1,1,1,1 16
1,1,0,2,0 8
1,0,2,0,0 4
0,2,0,0,1 9

Coef écon. 3,4,1,7,2
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RÉSULTATS

X(1)= 0
X(2)= 0
X(3)= 2
X(4)= 4
X(5)= 9
X(6)= 1
X(7)= 0
X(8)= 0
X(9)= 0

Z= 48

Le nombre optimal d'hectares à cultiver est donc:
0 -> P1
0 -> P2
2 -> P3
4 -> P4
9 -> P5

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Exemple 5:
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Un négociant en vin dispose de 30000 bouteilles de 75cl, ainsi que de 120 hectolitres de vin blanc et de 180 hectolitres de vin rouge. Le prix de la bouteille de vin blanc est de 6 F, celui de la bouteille de vin rouge est de 9 F. Le vin blanc est capsulé et le vin rouge est bouché. On compte 1 min pour remplir et capsuler une bouteille de vin blanc et 2 min pour remplir et capsuler une bouteille de vin rouge. Sachant que le négociant dispose au plus de 750 heures pour faire effectuer ce travail, combien doit-il remplir de bouteilles de vin blanc et de bouteilles de vin rouge pour réaliser un chiffre d'affaire maximal ?

B + R <= 30000
B <= 12000/0,75
R <= 18000/0,75
1*B + 2*R <= 750*60

La fonction économique à optimiser s'écrit:
max Z = 6*B + 9*R
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Valeurs à écrire :
1,1 30000
1,0 16000
0,1 24000
1,2 45000

Coef écon. 6,9
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RÉSULTATS

X(1)= 15000
X(2)= 15000
X(3)= 0
X(4)= 1000
X(5)= 9000
X(6)= 0

Z= 225000

Le nombre optimal de bouteilles à remplir est de 15000 en vin blanc et de 15000 en vin rouge. Cela pour un chiffre d'affaire de 225000 F

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version 1.0: Modification des scripts pour qu'ils puissent fonctionner avec une version US d'HyperCard.
version 1.1: Correction de quelques bugs.
version 1.2: Modification de l'interface.
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image de simplexe en action